Đề bài:  Cho tam giác ABC có diện tích 10 cm². Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN =  AB, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM =  AC. Các đoạn thẳng BM và CN cắt nhau tại I. Tính diện tích tam giác AIC. 

                                                                  Giải

Ta có: S_IMC = S_IMA x 2 ( 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh I mà đáy MC gấp đôi MA)

mà 2 tam giác IMC và IMA có chung đáy MI nên chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy MI gấp đôi chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy MI.

Xét 2 tam giác AIB và CIB có chung đáy IB mà chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy BI gấp đôi chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BI nên S_CIB = S_AIB x 2 

Ta có: S_CNA = S_CNB ( 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C và 2 đáy NA = NB)

mà S_INA = S_INB ( 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh I và 2 đáy NA = NB)

Suy ra S_CIA = S_CIB

Vậy ta coi diện tích tam giác AIB là 1 phần thì diện tích mỗi tam giác CIB và CIA gồm 2 phần như thế.

Tam giác ABC có diện tích 10 cm² ứng với tổng số phần bằng nhau là: 1 + 2 + 2 = 5 (phần)

Diện tích tam giác AIC là: 10 : 5 x 2 = 4 (cm²)

Đ/s: 4 cm²

==> Luyện thêm:

Đề bài:  Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy D là trung điểm, trên cạnh BC lấy điểm C sao cho BE =  BC. Nối AE và BD cắt nhau ở K, biết diện tích tam giác ADK là 3 cm². Tính diện tích hình KDEC?

                                                                          Giải

Ta có: S_BDA = S_BDC ( 2 tam giác chung chiều cao hạ từ đỉnh B, 2 đáy DA và DC bằng nhau)

Lại có: S_CDK = S_ADK (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh K và đáy DA = DC)

Vậy S BKA = S BKC và S ACK = 3 + 3 = 6 (cm2)

Ta có: S_KBE = S_kEC x 2 ( 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh K và đáy BE = EC x 2)

Vậy chiều cao hạ từ B xuống KE bằng 2 lần chiều cao hạ từ C xuống KE.

Xét 2 tam giác BKC và CKA có chung đáy AK mà chiều cao hạ từ B gấp đôi chiều cao hạ từ C xuống AK nên S_BKA = S_BKC = S_CKA x 2 = 6 x 2 = 12 (cm²)

Mà S_KCE =  S_BKC = 12 x  = 4 (cm²)

Nên S_KDEC = S_KCE + S_CDK = 4 + 3 = 7 (cm²)

Đ/s: 7 cm²